PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Instituto Técnico Industrial. Málaga

Emeterio Duarte Suarez

Guía- Taller Grado 8°

Algebra

Productos Notables

 

Los productos notables son multiplicaciones especiales que resultan de generalizar algunos productos.

Los productos notables nos permiten encontrar un resultado aplicando una formula general sin necesidad de desarrollar siempre los productos o potencias indicadas.

El cuadrado de lado (a+b),esta divido en cuatro regiones. Por tanto el área del cuadrado se puede representar como la suma de las áreas de las regiones que lo conforman. Es decir:

A= (a+b)2 = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2

Por tanto, la formula general para aplicar en este tipo de productos es:

(a+b)2 = a2+2ab+b2

En términos generales se lee:

EL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUADRADO DEL PRIMER TERMINO, MAS EL DOBLE DEL PRIMER TERMINO POR EL SEGUNDO TERMINO,MAS EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO.

Veamos algunos ejemplos:

Resolver las siguientes potencias:

1. (2x+3y)2= (2x)2+2(2x)(3y)+(3y)2 = 4x2+12xy+9y2

2. (1/2x2+3/4y5)2= (1/2x2)2+2(1/2x2)(3/4y5)+(3/4y5)2    

                                                                 = 1/4x4+6/8 x2y5+9/16y10        

NOTA: RECORDEMOS QUE TODO LO QUE SE ENCUENTRA DENTRO DEL PARENTESIS SE DEBE ELEVAR A LA POTENCIA SEÑALADA.

POR EJEMPLO (12ab5c3)2= 144a2b10c6.

El resultado anterior es como si separara cada factor y lo elevara a la POTENCIA INDICADA, para este ejemplo lo elevamos al cuadrado y mentalmente esta seria la operación que realizaríamos:

(12ab5c3)2 = (12)2 (a)2 (b5)2 (c3)2= 144a2b10c6.

Ahora veamos el cuadrado de la diferencia de dos términos la formula es igual a la anterior lo unico que cambia es que el signo para el segundo termino es NEGATIVO POR LO QUE SE TRATA DE UNA RESTA, entonces la formula será:

(a-b)2 = a2-2ab+b2

En términos generales se lee:

EL CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUADRADO DEL PRIMER TERMINO, MENOS EL DOBLE DEL PRIMER TERMINO POR EL SEGUNDO TERMINO, MAS EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO.

Veamos algunos ejemplos:

Resolver las siguientes potencias:

(a-3)2= (a)2-2(a)(3)+(3)2 =a2-6ª+9

(10x3-9xy5)2= (10x3)2-2(10x3)(9xy5)+(9xy5)2=100x6-20x3(9xy5)+81x2y10= 100x6-180x4y5+81x2y10

El proceso es igual que para el anterior, este producto notable se le conoce mayormente por el nombre de TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y ES EL TERCER CASO DE FACTORIZACION.

Ahora veremos otro producto notable que se denomina:

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:

Matemáticamente se expresa de la siguiente forma:

(a+b)(a-b) o (a-b)(a+b) Al desarrollarse quedaran de la siguiente forma:

(a+b)(a-b)= a2-b2

(a-b)(a+b)=  a2-b2

Veamos algunos ejemplos:

Resolver las siguientes potencias:

(x+y)(x-y)= x2-y2

(2a-1)(2a+1) = (2a)2-(1)2= 4a2-1

(2m+9n)(2m-9n)= (2m)2-(9n)2= 4m2-81n2

Este producto notable se le conoce por el nombre de DIFERENCIA DE CUADRADOS Y ES EL CUARTO CASO DE FACTORIZACION.

Para lograr obtener éxito en el desarrollo de de cada uno de los productos notables lo indispensable es:

Primero: Identificar cual es el caso que me presenta el ejercicio.

Segundo: Aprender a desarrollar la formula y comprender cual es la operación que se realiza.

A continuación vamos a ejercitarnos por medio de algunos ejercicios :

EJERCICIOS:

Desarrollar los siguientes productos notables esto quiere decir que los paréntesis se deben destruir.

Además debemos clasificar cada ejercicio en TRINOMIO CUADRADO PERFECTO O EN UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.

a. (x5-3ay2)( x5+3ay2)

b. (x5-3ay2)2

c. (y2+3y)( y2+3y)

d. (4ax-1)2

e. (ax+1-2bx-1)( ax+1+2bx-1)

f. (2m-3n)( 2m­+3n)

g. (4m5+5n6)2

h. (10x3-9xy5)2

i. (6x2-m2x)( 6x2+m2x)

j. (12n4+8p5)( 12n4-8p5)

k. (2a-3b)2

l. (3ax+8by)( 3ax-8by)

m. (x10+10y12)2

n. (7mnp+5j5k9l4)( 7mnp-5j5k9l4)

ñ. 16x4+24x2y8+9y16

o. 64a6-9b2

p. 49x2+154x+121

 

CUBO DE UN BINOMIO

Las expresiones del cubo de un binomio son:

CUBO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS Y SU EXPRESION MATEMATICA ES:

(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3

En términos generales se lee:

EL CUBO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUBO DEL PRIMER TERMINO, MAS TRES VECES EL PRIMER TERMINO ELEVADO AL CUADRADO POR EL SEGUNDO TERMINO, MAS TRES VECES EL PRIMER TERMINO POR EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO, MAS EL CUBO DEL SEGUNDO TERMINO.

Veamos algunos ejemplos:

Desarrollemos los siguientes cubos:

(2p+3)3= (2p)3+3(2p)2(3)+3(2p)(3)2+(3)3

                          = 8p3+9(4p2)+6p(9)+27

                = 8p3+36p2+54p+27

(y+4)3= (y)3+3(y)2(4)+3(y)(4)2+(4)3

             = y3+12(y2)+3y(16)+64

            = y3+12y2+48y+64

CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS Y SU EXPRESION MATEMATICA ES:

(a-b)3= a3-3a2b+3ab2-b3

En términos generales se lee:

EL CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUBO DEL PRIMER TERMINO, MENOS TRES VECES EL PRIMER TERMINO ELEVADO AL CUADRADO POR EL SEGUNDO TERMINO, MAS TRES VECES EL PRIMER TERMINO POR EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO, MENOS EL CUBO DEL SEGUNDO TERMINO.

Veamos algunos ejemplos:

Desarrollemos los siguientes cubos:

(x-3)3= (x)3+3(x)2(3)+3(x)(3)2+(3)3

                          = x3+9(x2)+3x(9)+27

                = x3+9x2+27x+27

(6m4-8n6)3= (6m4)3+3(6m4)2(8n6)+3(6m4)(8n6)2+(8n6)3

             = 216m12+24n6(36m8)+18m4(64n12)+512n18

            = 216m12+864m8 n6+1152m4n12+512n18

Este producto notable se le conoce por el nombre de CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Y ES EL VIII CASO DE FACTORIZACION.

                                                                        EJERCICIOS:

a. (2a-3)3

b. (3x+2)3

c. (2m2n-n2)3

d. (5a3b+3c3)3

e. (4x+5)3

f. (1-8y)3

g. (m+3)3

i. (2x+3y)3

j. (a+1)3

k. (10j5-6k4)3

l. (9abc+7abc

m. (2xy-3wz)3

n. (w6x5+y4z8)3


h. (4n-3)3

ñ. (3hn-1)3                                                                                     o. (2ac-4de)3


 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS

DE LA FORMA (x+a)(x+b)

Este producto es la suma de dos cantidades en la que uno de los términos es factor del primer término y también lo es del segundo término, para este caso vemos que es x, los otros términos son diferentes para este caso se representan por la letras a y b.

Para evitar tener que realizar el producto procedemos de la siguiente forma:

El primer término del producto es el producto de los  primeros términos de los binomios. (x)

El coeficiente del segundo término del producto es la suma o diferencia algebraica de los segundos términos de los binomios.(DEPENDE DE LOS SIGNOS SI SUMAMOS O RESTAMOS)

El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Al aplicar el anterior proceso matemáticamente dara como resultado el siguiente producto:

(x+a)(x+b)= (x)(x)+x(a+b)+(a)(b)

                        = x2+ x(a+b)+ab

EJEMPLOS:

Realiza las siguientes multiplicaciones:

a. (y+5)(y+7)= (y)(y)+y(5+7)+(5)(7)=  y2+y(12)+35=  y2+12y+35.

b. (pq+4)(pq-6)= (pq)(pq)+pq(4-6)+(4)(6)                                  = pq2+pq(-2)+(-24)

= pq2+pq(-2)+(-24)=  pq2-2pq-24.

Aplicamos operación de signos.

(xn+9)(xn-3)= (xn)(xn)+xn(9+(-3))+(9)(-3)= x2n+xn(6)+(-27)

                          = x2n+6xn-27

 

 

Ejercicios

a. (a+1)(a+2)

b. (x+2)(x+4)

c. (m-6)(m-5)

d. (x+7)(x-3)

e. (a+5)(a-3)

f. (x+7)(x-8)

g. (x-11)(x+10)

h. (a3b3-8)(a3b3+15)

i. (mn2-9)(mn2+12)

j. (a2+5)(a2-9)

k. (x3+7)(x3-6)

l. (ax-3)(ax+8)

m(a5-3)(a5-4)

n.(n3+12)(n3-15)

o. (y4-7)(x4-11)

AUTOEVALUACION:

Realiza los siguientes ejercicios, clasifícalos y además toma cuanto tiempo demoras en realizar cada ejercicio; compáralo con el de tus compañeros y quien gaste menos tiempo será el ganador de esta competencia.

a. (x+2)2

b. (x+2)(x+3)

c. (1+b)3

d. (n+3)(n+5)

e. (ab+3)(3-ab)

f.(a2+8)(a2-7)

g. (x4+12)(x4-12)

h. (2a+x)3

i. (3ab-5x2)2

j. (2m+9)(2m-9)

k. (n2+2n+1)(n2+2n-1)

l. (6n-5)3

m. (a+b-1)(a+b+1)

n. (1-4ax)2

ñ. (x4-2)(x4+5)

o. (2a3-5b4)2

p. (1-2n)3

q. (2x+3y)3

r. (n-19)(n+10)

s. (10x3-9xy5)2 


 COCIENTES NOTABLES

Los cocientes notables resultan de divisiones exactas entre polinomios que presentan regularidades y permiten obtener EL RESULTADO SIN EFECTUAR LA DIVISION INDICADA.

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES.

Sea el cociente:

a2-b2 /a-b = a+b

Sea el cociente:

a2-b2 /a+b =  a-b

Aquí aplicamos la propiedad de la potenciación con cocientes (divisiones)

Recordemos que cuando las bases son iguales dejamos una BASE Y RESTAMOS LOS EXPONENTES (al exponente del numerador le restamos el exponente del denominador).

Ejemplo:

m2-4 ⁄  m-2 = m+2

Veamos como es el proceso mental que realizamos:

m2-1=m

-4/2 =-2

81a6-100b/9a3-10b4    =  9a3+10b4

Veamos como es el proceso mental que realizamos:

81/9= 9

a6-3= a3

(-100)/10= -10

b8-4=b4

 

Ejercicios:

a. x2-1/x+1

b. 1-x2/1-x

c. y2-x2/y-x

d.9-x4/3-x2

e. 25-36x4/5-6x2

f. 4x29m2n4

g. 36m2-49n2x4/6m-7nx2

h. 144m4-4m2n6/2mn3+12m2

i. 64-x12/8+x6

j. 169x4y6-81x2y4/13x2y3-9xy2

 

COCIENTE DE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE LOS CUBOS

DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O LA DIFERENCIA

LAS CANTIDADES.

 

 

Aplicamos la formula:

a3+b/a+b = a2-ab+b2

 a3-b/a-b = a2+ab+b2  

Cuando nos dan un cociente en el que tiene la anterior presentación aplicamos la fórmula para el binomio del DENOMINADOR O DIVISOR  y lo único que tenemos que hacer es reemplazar por los valores, para ello debemos identificar quien es el primero y el segundo.

Si el BINOMIO DIVIDENDO Y EL BINOMIO DIVISOR SON POSITIVOS (ESTAN SUMANDO); EL SEGUNDO TERMINO DEL RESULTADO SERA SIEMPRE NEGATIVO.

 Si el BINOMIO DIVIDENDO Y EL BINOMIO DIVISOR SON NEGATIVOS (ESTAN RESTANDO); EL SEGUNDO TERMINO DEL RESULTADO SERA SIEMPRE POSITIVO.

 Ejemplos:

 8x3+y3   /2x+y =  (2x)2- 2x(y)+(y)2= 4x2-2xy+y2

 27x6+125y9 /3x2+5y3   = (3x2)2- 3x2(5y3)+(5y3)2  

=9x4-15x2y3+ 25y6

 64n9-729n21/4n3-9m= (4n3)2+ 4n3(9n7)+(9m7)2                                   = 16n6+ 36n10+81m14

        1-x12/ 1-x4 (1)2+ 1(x4)+(x4)2= 1+x4+x8

COCIENTE DE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE

LAS CANTIDADES.

 

El cociente de la forma:

xn-an/x-a  El polinomio xn-an es divisible entre x-a; si n es par o            impar.

xn-a/x+a    El polinomio xn-an es divisible entre x+a; si n es par   solamente.

xn+a/x+a   El polinomio xn+an es divisible entre x+a; si n es      impar solamente.

NOTA: LA LETRA  n ES UN NUMERO CUALQUIERA QUE REALIZA LA FUNCION DEL EXPONENTE.

CUANDO EL DIVISOR ES a-b TODOS LOS SIGNOS DEL COCIENTE SON POSITIVOS.

CUANDO EL DIVISOR ES a+b TODOS LOS SIGNOS DEL COCIENTE SE ALTERNAN ENTRE SI POSITIVO Y NEGATIVO.

 Ejemplos: Halle el cociente de x7-y7 entre x-y

x7-y7/x-y = x6+x5y+x4y2+x3y3+x2y4+xy5+y6     

El proceso mental a realizar es el siguiente:

Los valores de los extremos los hallamos restándole a cada exponente de cada termino UNO.

Los restantes se hallan multiplicando el primer termino por el segundo termino del binomio divisor, teniendo en cuenta que al primer termino le restamos de a UNO HASTA LLEGAR A CERO y para el segundo termino le sumamos de a UNO HASTA LLEGAR  AL ULTIMO TERMINO.

COMO PODEMOS VER EL NUMERO DE TERMINOS DEL COCIENTE ES IGUAL AL DE LOS EXPONENTES DEL NUMERADOR O DIVIDENDO.

Hallar el cociente de x5+32 entre x+2

x5+32 /x+2 =(x)5+(2)5/x+2 Descomponemoslos factores del  numerador en los factores del denominador                   

= (x)4+(x)3 (2)-(x)2(2)2+(x)(2)3-(2)4      

= x4+2x3-x2(4)+x(8)-16 = x4+2x3-4x2+8×-16

Hallar el cociente de 64a6-729b6 entre 2a+3b

     64a6-729b/ 2a+3b = (2a)6-(3b)6/2a+3b        

=(2a)5-(2a)4(3b)+(2a)3(3b)2-(2a)2(3b)3+(2a)(3b)4-(3b)5     

=32a5-(16a4)(3b)+(8a3)(9b2)-(4a2)(27b3)+(2a)(81b4)-(243b5)

= 32a5-48a4b+72a3b2-108a2b3+162ab4-243b5                                

EJERCICIOS:

Escribir el cociente sin realizar la división, aplica las anteriores formulas para cocientes notables.

a.  x4-y4 entre x-y

b. x4-1 entre x2+1

c.  x7-128 entre x-2

d.  8m3+n6 entre 2m+n2

e.  m9+n9 entre m+n

f.  32x5+243y5 entre 2x+3y

g. 1024x10-1 entre 2×-1

h.  64m6-343n9 entre 4m2-7n3

ñ.   625-x4 entre x+5

o.  a18-b18 entre a3+b3

p.  m6-729 entre m-3

q.  9-36y10 entre 3+6y5

r.  x6-27y3 entre x2-3y

s.  a27+y27 entre a9+y9

t.  1-a2b4c8 entre 1-ab2c4

i.  64m6-729n6 entre 2m+3n

j.  512a9+b9 entre 2a+b

k.  x8-256 entre x-2

l.  x40-y40 entre x8-y8

m.   1-m8 entre 1+m

u.   16a4-81b4 entre 2ª-3b

v .  a5+243 entre a+3

w. m16-n16 entre m4-n4

n.   a30-m30 entre a6-m6

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