LEY O TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO

Instituto Técnico Industrial

Emeterio Duarte Suarez

Trigonometría de Decimo

Teorema de los Senos y de los Cosenos

En forma general los teoremas del SENO Y EL COSENO se aplican en triángulos OBLICUANGULOS,(en los cuales ninguno de sus ángulos  es recto).

Teorema o Ley del SENO

Se aplica en los siguientes casos:

ü Cuando conocemos dos ángulos y cualquier lado.

ü Cuando conocemos dos lados  y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Al aplicar este teorema nos ahorra tiempo y nos reduce el trabajo a menos de la mitad, porque así no tendremos que dividir los triángulos acutángulos en dos triángulos rectángulos y  no se nos obliga a calcular la altura del triangulo, también nos evita realizar el grafico.

El éxito al aplicar el TEOREMA DEL SENO es saber despejar las formulas y reconocer cuales datos conozco y cuales debo calcular.

Recordemos que despejar una ecuación o fórmula matemática es:

  • Ø Ubicar la variable a despejar (cantidad desconocida), si se encuentra antes o después del igual.
  • Ø Si la variable a despejar se halla antes del igual; todas las variables conocidas que  acompañan la variable desconocida deben ser movidas o ubicadas después del igual, para ello debemos tener en cuenta que si hay variables conocidas después del igual se deben dejar  tal como están.
  • Ø Las variables que conocemos al ubicarlas después del igual pasaran a realizar la operación opuesta; por ejemplo si esta sumando pasara a restar, si está multiplicando pasara a dividir, si está dividiendo pasara a multiplicar, si está restando pasara a restar. Para dejar sola la variable desconocida antes del IGUAL.
  • Ø El anterior proceso se realiza cuando la variable desconocida se halla en el NUMERADOR cuando trabajamos con fraccionarios.
  • Ø Si la variable desconocida se halla ubicada en el DENOMINADOR  y esta antes del igual debemos pasarla después del igual a ocupar el lugar en el NUMERADOR. Teniendo en cuenta que debes dejar sola la variable desconocida.
  • Ø Estos pasos los debemos tener en cuenta para trabajar en el despeje de ecuaciones y/o formulas matemáticas.

La formula de la LEY DE SENOS ES:

SENA/a =SENB/b=SENC/c   o también la puedes aplicar de la siguiente forma: a/SENA = b/SENB =c/SENC.

De cualquiera de las dos formas el resultado será igual.

Esta fórmula se lee de la siguiente forma:

El seno del ángulo A sobre el lado a   o  el lado a sobre el ángulo A es igual al Seno del ángulo B sobre el lado b   o  el lado b sobre el ángulo B es igual al Seno del ángulo C sobre el lado c    o  el lado c sobre el ángulo C.

Veamos algunos ejemplos:

Resolvamos el siguiente triangulo ABC, en el cual el ángulo A= 55°, ángulo B= 41° y a=4,5 cm.

SOLUCION:

Aquí conocemos dos ángulos y un lado.

Nos hace falta calcular el ángulo C.

Nos hace falta calcular los lados b y c  y el área del triangulo.

Ahora aplicaremos el teorema de los SENOS.

Como los ángulos y los lados están determinados por las LETRAS ABC, por ello aplicaremos la ley de los senos así:

a/Sen A =b/Sen B= c/Sen C

Lo primero que vamos a calcular es el ángulo faltante de la siguiente manera:

∡C =180° -(∡A +∡ B)

∡C = 180° – (55°+41°)

∡C = 180°­-96°

∡C = 84°

 Como conocemos el ∡A y el ∡B y el lado a=4,5cm.

Entonces aplicamos esta parte del teorema de Senos, recuerda que este teorema se trabaja en parejas de la formula.

Vamos a calcular el lado b.

a/Sen A = b/ Sen B

Despejamos  b.

Como vamos a despejar b y por encontrarse después del igual y en el numerador dejamos a b después del igual.

Ahora despejamos b así:

La parte que esta antes del igual se deja tal como esta, y la parte que esta después del igual esta en el denominador esto quiere decir que está dividiendo, como debemos dejar solo a b, lo que está en el dividiendo al enviarlo antes del igual pasara a multiplicar. Para este caso.

Ahora veámoslo con la formula:


a/Sen A = b/ Sen B

 

a(Sen B)/Sen A = b

Ahora reemplacemos la formula.

a=4,5 cm

∡ A = 55°

∡ B = 41°

4,5cm(Sen 41°)/Sen 55° = b

b= 3,6 cm

Ahora vamos a calcular el lado c:

b/Sen B = c/Sen C

b(Sen C)/Sen B = c

Ahora reemplacemos la formula:

3,6cm (Sen 84°)/Sen 41° = c

5,46 cm = c

Calculemos el área para lo cual tomamos dos lados y el ángulo que está formado por esos dos lados. Para nuestro ejercicio será:

Area del triángulo = base por un lado por el Seno del ángulo formado por la base y el lado tomado; todo lo dividimos entre dos.

Veamos:

Area del triangulo =c(a)SenB

Area del triangulo = 5,46 cm(4,5cm)(Sen 41°)/2

Area del triangulo = 8,05 cm2

Veamos otro ejemplo:

Resolvamos el triangulo DEF, en el cual el ∡D=40°,lado d= 5cm y el lado  e = 2cm.

Para este caso conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados.

Como el triángulo está determinado por los ángulos DEF.

Vamos a calcular primeramente el ángulo E:

d/Sen D= e/Sen E

Como vamos despejar el Sen E y por hallarse en el denominador después del igual debemos enviarlo a antes del igual y pasara a multiplicar, lo que esta antes del igual pasara después del igual, de la siguiente manera lo que está en el denominador pasara como numerador y lo que estaba como numerador se convertirá en denominador esto quiere decir; que  lo que estaba dividiendo pasara a multiplicar y lo que estaba dividiendo pasara a multiplicar. Para asi despejar el ∡ E; ahora veamos cómo nos quedara la formula:

Sen E = e(Sen D)/ d

Ahora reemplacemos:

Sen E = 2cm(Sen 40°)/ 5cm

Sen E = 0,25711504438

Recordemos que para calcular un ángulo debemos digitar en la calculadora: tecla shift la función (para este caso es SENO) la tecla ANS(es donde la calculadora guarda el último resultado de cualquier operación matemática) = y la tecla ° ′ ″ .Obteniéndose así el ángulo.

Veamos: E = shift  Sen 0,25711504438 =14° 53 56

Ahora calculemos el ángulo que nos falta, que es el ∡ F:

∡ F = 180° – (∡D+∡E)

∡F = 180° -(40° +14° 53′ 56″)

∡F = 180° – 54° 53′ 56″

∡F = 125° 6′ 4″

Ahora calculemos el lado f:

Sen D/d = Sen F/f

f = Sen F (d)/Sen D

Reemplacemos:

f = Sen 125° 6′ 4″ (5cm)/Sen 40°

f= 6,36 cm

Por último calculemos el área:

Area del triangulo = base(un lado)(Seno del ángulo comprendido entre los dos).Todo dividido entre 2.

Area del triangulo = 6,36 cm(2cm)Seno 40°/2

Area del triangulo =4,08 cm2

Teorema o Ley del COSENO

Se aplica en los siguientes casos:

ü Cuando conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

ü Cuando conocemos sus tres lados. 

ü Al aplicar este teorema nos ahorra tiempo y nos reduce el trabajo a menos de la mitad, porque así no tendremos que dividir los triángulos acutángulos en dos triángulos rectángulos y  no se nos obliga a calcular la altura del triangulo, también nos evita realizar el grafico.

El éxito al aplicar el TEOREMA DEL COSENO es saber despejar las formulas y reconocer cuales datos conozco y cuales debo calcular.

Las formulas para aplicar el Teorema del Coseno son tres a saber:

a2=b2+c2-2bc (Cos A)

b2=a2+c2-2ac (Cos B)

c2=a2+b2-2ab (Cos C)

Las anteriores formulas nos permite despejar algún lado desconocido.

Para calcular ángulos cuando conozco solo los lados tendré que despejar de la siguiente forma:

Como tenemos la función Coseno después del igual la dejamos en ese lado, por lo tanto cambio de lugar el resto de variables o sea que las enviamos para antes del igual y esto hace que cada variable conocida pase con los signos opuestos en la SUMA Y/O RESTA.

Las que están multiplicando pasan a DIVIDIR CON SU SIGNO RESPECTIVO.

A continuación veremos cómo se despeja cada fórmula para hallar el ángulo desconocido.


a2=b2+c2-2bc(Cos A)

a2-b2-c2/-2bc = (Cos A)

para hallar el ángulo debemos:

Shift Cos ANS = ° ′″

 

b2=a2+c2-2ac(Cos B)

b2-a2-c2/-2ac = (Cos B)

para hallar el ángulo debemos:

Shift Cos ANS = ° ′″

 

c2=a2+b2-2ab(Cos C)

c2-a2-b2/-2ab = (Cos C)

para hallar el ángulo debemos:

Shift Cos ANS = ° ′″


EJEMPLOS:

Determinar la medida del lado b para el triangulo ABC,en el cual ∡B= 130°,a= 10cm y c=5cm.

Nos falta hallar:

∡A, ∡B, ∡C y el área.

Como conocemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos podemos aplicar el Teorema del Coseno.

b2=a2+c2-2ac(Cos B), ahora reemplacemos:

b2=(10cm)2+(5cm)2-2(10cm)(5cm)(Cos 130°)

b2=100cm2+25cm2-2(50cm2)(Cos 130°)

b2=125cm2-(100cm2)(Cos 130°)

b2=25cm2 (Cos 130°)

b2=13,76cm.

Hallemos el ángulo A.

a2=b2+c2-2bc(Cos A)

a2-b2-c2/-2bc = (Cos A)

Ahora reemplacemos:

(10cm)2-(13,76cm)2-(5cm)2/-2(13,76cm)(5cm) = (Cos A)

100cm2-189,33cm2-25cm2/-2(68,8cm2) = (Cos A)

100cm2-164,33cm2/(-27,52cm2) = (Cos A)

-64,33cm2/(-27,52cm2) = (Cos A)

2,337572674 = (Cos A)

Shif Cos 2,337572674 =A

En la calculadora dará error porque debemos recordar que el Coseno va de 1 a -1, por lo tanto el triangulo no tiene solución. Porque no existe ningún ángulo cuyo Coseno valga 2,337…

EJEMPLO:

Resolver el triangulo DEF, en el cual d=5cm,e=4cm y f=6cm

Debemos hallar los tres ángulos y el área.

Hallemos el ángulo D:

d2=e2+f2-2ef(Cos D)

d2-e2-f2/-2ef = (Cos D)

Ahora reemplacemos:

(5cm)2-(4cm)2-(6cm)2/-2(4cm)(6cm) = (Cos D)

25cm2-16cm2-36cm2/-2(24cm2) = (Cos D)

25cm2-52cm2/(-48cm2) = (Cos D)

-27cm2/(-48cm2) = (Cos D) Recordemos que un numero negativo dividido en otro numero negativo su resultado será siempre positivo.

0,5625 = (Cos D)

Shif Cos 0,5625 = 55,77113367= Shif ° ′ ″ =55° 46′ 16,08″= D

Ahora calculemos el otro ángulo:

f2=d2+e2-2de(Cos F)

f2-d2-e2/-2de = (Cos F)

Ahora reemplacemos:

(6cm)2-(5cm)2-(4cm)2/-2(5cm)(4cm) = (Cos F)

36cm2-25cm2-16cm2/-2(20cm2) = (Cos F)

36cm2-41cm2/(-40cm2) = (Cos F)

-5cm2/(-48cm2) = (Cos F)

0,104166666 = (Cos F)

Shif Cos 0,104166666 = 84,0208432= Shif ° ′ ″ =84° 1′ 15,04″= F

Ahora calculemos el otro ángulo:

∡E=180° – (∡D+∡F)

∡E=180° – (55° 46′ 16,08″+84° 1′ 15,04″)

∡E=180° – 139° 47′ 31,1″

∡E= 40° 12′ 28,8″

Ahora calculemos el área:

Para ello tomamos dos lados y el ángulo formado por los dos lados.

Área del triangulo= f(e) Sen D /2

Área del triangulo= 6cm(4cm) Sen 55° 46′ 16,08″  /2

Área del triangulo= 24cm2 Sen 55° 46′ 16,08″  /2

Área del triangulo= 9,92cm2

Como podemos ver estos dos teoremas o leyes nos ayuda a simplificar el trabajo, la clave es saber despejar cualquier ecuación.

A continuación vamos a realizar un taller para reforzar nuestros conocimientos y a su vez hacer la retroalimentación y así despejar cualquier duda.

Para la solución de cada ejercicio debemos tener en cuenta las condiciones para poder aplicar el teorema o ley indicada para no perder tiempo y agilizar nuestro trabajo.

La solución de estos triángulos incluye hallar el área del triangulo dado.

 

TALLER APLICACIÓN LEY O TEOREMAS DEL SENO O COSENO

  1. Resolver el triangulo GHI, tal que ∡G=110°,g=12cm,h=7cm.Realiza el grafico.
  2. Resolver el triangulo ABC, tal que b=10cm,c=8cm;∡A=72°.Realiza el grafico.
  3. Resuelve el triangulo DEF, tal que d=8m, e=10m, f=12m.Realiza el grafico.
  4. Resuelve los siguientes triángulos:

a)    ∡A=28°,∡B=56°,a=9cm.

b)   ∡B=103°,∡C=37°,c=11,4cm.

c)    ∡A=35°,∡B=78°,c=5,8cm.

d)   a=8m,b=7m,∡ C=47°.

e)    b=4cm, c=5cm,∡A= 100°.

f)     a= 10cm,c=20cm, ∡B=30°.

Problemas de aplicación:

  1. Un faro situado a 12 km al oriente de un faro B. Un bote parte del faro A y navega 9km hacia el noreste; en ese instante, desde el faro B, el bote se observa al noroeste, sobre la línea que forma un ángulo de 42° con la dirección este-oeste. Determinar la distancia del bote al faro B.
  2. Dos balsas A y C, se mueven en línea recta desde el punto B, de tal manera que la recta sobre la que se mueve la balsa C forma un ángulo de 42° con la recta sobre la que se mueve la balsa A, cuya velocidad es el doble de la balsa C. Determinar la distancia que las separa cuando la balsa C ha recorrido 1,5 km.
  3. Una persona sostiene dos cometas que están volando. A una de las cometas le ha soltado 1000m de pita y a la otra 800m.Si el angulo que forman ambas pitas es aproximadamente de 30°,¿A que distancia esta una cometa de la otra?
  4. Dos aviones parten desde el mismo punto, el uno hacia el oeste y el otro 20° al este del norte; el primero con una velocidad de 280km/h y el segundo a 350 km/h. ¿A qué distancia se encuentran el uno del otro al cabo de dos horas de vuelo?
  5. Los lados de un paralelogramo miden 5m y 12m y forman entre si un ángulo de 36°.Halla la medida de las diagonales.
  6. Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 40° al este del norte; el primero va a una velocidad de 240km/h, y el segundo a 320 km/h. ¿A qué distancia se encuentran después de dos horas de vuelo?
  7. Halla el ángulo entre las direcciones de dos aeroplanos que parten del mismo punto y que al cabo de tres horas se encuentran a una distancia de 520 km, si sus velocidades son de 380km/h y 420 km/,respectivamente.
  8. En la orilla opuesta de un rio se colocan dos estacas en los puntos A y B; en la orilla donde está situado el punto A y a una distancia de 300m se coloca una tercera estaca; al medir los ángulos A y C se obtiene 124° 40′ y 45° 30′. Calcula la distancia entre A y B.
  9. Dos fuerzas de 50N y 60N, se ejercen sobre un mismo punto; la primera actúa en una dirección cuyo ángulo respecto a la horizontal es de 20° y la otra en una dirección que forma con el mismo eje un ángulo de 80°.Halla la fuerza resultante y el ángulo que forma con la horizontal.
  10. Calcula los lados de un paralelogramo, sabiendo que una diagonal   mide un metro y forma con los lados ángulos de 28° y 39°,respectivamente.

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