DIVISION DE POLINOMIOS Y REGLA DE RUFFINI

DIVISION ENTRE POLINOMIOS

Trabajamos teniendo en cuenta la misma representación que la división ARITMETICA (números), es decir existe: UN POLINOMIO DIVIDENDO, UN POLINOMIO DIVISOR, UN POLINOMIO COCIENTE Y UN POLINOMIO RESIDUO.

Para dividir polinomios realizamos el siguiente el procedimiento:

  • Ø Primero: Se escriben los dos polinomios en forma ordenada y descendente (de mayor a menor), con respecto a una de las variables (una de las letras con su respectivo exponente); si faltan términos se deja el espacio respectivo.
  • Ø Segundo: Se confirma que el grado del polinomio dividendo es mayor que el grado del polinomio divisor.
  • Ø Tercero: Se ubican los polinomios de la misma forma que la división de números naturales.
  • Ø Cuarto: Se divide el primer término del polinomio dividendo entre el primer término del polinomio divisor, cuyo resultado será el primer termino del cociente.
  • Ø Quinto: Se multiplica el término que se obtiene por cada uno de los términos del polinomio divisor y se restan de los términos del polinomio del dividendo.(Al realizar la resta debemos escribir cada termino con los signos opuestos).
  • Ø Sexto: Se baja el siguiente término del dividendo y se realiza la división del primer término que aparece después de efectuada la resta y el primer termino del divisor, y ese será el segundo término

 del polinomio cociente.

  • Ø Luego, se repite el procedimiento hasta llegar a un residuo con menor grado que el polinomio divisor.
  • Ø Para escribir el signo del término en el cociente observamos el signo del primer término del polinomio dividendo y ese será su signo.

EJEMPLO:

Dividir 9x2+4-12x entre 3x-1

Lo ordenamos respecto de la variable x en forma descendente, entonces quedara así: 9x2-12x+4.

El polinomio divisor ya esta ordenado también respecto de la x.

Para este caso el grado del polinomio del dividendo es 2 y el grado del polinomio divisor es 1.

 

 9x2-12x+4    3x-1        Se divide 9x2 entre 3x de donde se obtiene

-9x2+3x           3x-1          3x.Se multiplica 3x(3x-1)  y se resta el pro

         -9x+4                              ducto al polinomio del dividendo, como se

           9x-3                               resta los escribo con los signos opuestos.

                  1                               Ahora, se divide -9x entre 3x de donde re-

                                                   sulta -3.Luego, se multiplica -3(3x-1) y se

                                                   realiza el mismo proceso, hasta obtener 1

                                                                                    en el residuo.

 

 

   2x2-3x-2     2x+1        Se divide 2x2 entre 2x de donde se obtiene

  -2x2-x            x-2              x.Se multiplica x(2x+1)  y se resta el pro

         -4x-2                                ducto al polinomio del dividendo, como se

         4x+2                               resta los escribo con los signos opuestos.

                  0                               Ahora, se divide -4x entre 2x de donde re-

                                                   sulta -2.Luego, se multiplica -2(2x+1) y se

                                                   realiza el mismo proceso, hasta obtener 0

                                                                                    en el residuo.

 

EJERCICIO 1

 

1. x2+3x+8 entre x+2.                  5. m2-m+2m3-16 entre m-2.

2.  6x2-7x-20 entre 2x-5                 6. 8x3-10x2y+2xy2 entre 4x2-3xy.

3.6 a3-42-3a entre -2+a.                7. x5-3x4+9x2+7x-4 entre x2-3x+2.

4. 2x4+1-3x entre x-2.                    8. x5 + 2x3 − x – 8 entre  x2 − 2x + 1.

DIVISION SINTETICA

La división sintética o REGLA DE RUFFINI  es un método abreviado para realizar la división entre un polinomio de VARIABLE  x Y UN BINOMIO  DE LA FORMA  x-a.

Esto quiere decir que los polinomios que son DIVIDENDOS solo tendrán una variable con diferentes exponentes y que el polinomio DIVISOR SOLO TENDRA DOS TERMINOS UNO CON UNA VARIABLE Y UN TERMINO INDEPENDIENTE.

El proceso para realizar la división sintética de un polinomio de variable x y un binomio x-a es:

v Primero: Se ordena el polinomio dividendo en forma descendente y se escriben aparte los coeficientes(LOS NUMEROS).

v Segundo: Si el polinomio no es completo se escriben ceros en los lugares donde faltan términos.

v  Tercero: Se escriben solo los coeficientes del polinomio dividendo a la izquierda y del polinomio divisor solo escribimos el termino independiente (NUMERO), hacia la derecha pero con el signo opuesto, en un arreglo similar al de la división tradicional.

v Cuarto: Dejamos un espacio (un renglón) y trazamos una línea horizontal.

v Quinto: Escribimos el coeficiente del primer termino debajo de la línea y lo multiplicamos por el divisor.

v Sexto: El producto (resultado) lo escribimos sobre la línea debajo del segundo coeficiente y dependiendo de los signos sumamos o restamos. Y el resultado lo escribimos debajo de la línea.

v Seguimos realizando el mismo procedimiento del paso anterior hasta el último coeficiente del dividendo.

v Luego, el ultimo numero (IZQUIERDA A DERECHA) es el residuo y todos los anteriores corresponden a los coeficientes de un polinomio cuyo grado es el grado del polinomio inicial disminuido en uno. RECORDEMOS QUE EL GRADO DEL POLINOMIO NOS LO INDICA EL EXPONENTE DE LA VARIBLE.       

EJEMPLOS

Realizar las siguientes divisiones:

a. 3x2+5x-3 entre x-2

Aplicamos el procedimiento anterior:

Escribimos los coeficientes del dividendo y el término independiente del divisor con su signo opuesto.

3     5     -3     2          Escribimos el PRIMER COEFICIENTE  debajo de la

6     22                  línea y se multiplica por 2.EL RESULTADO LO SUMA

    3     11    19                MOS (6+5). De igual manera procedemos a multi-

                                          plicar por 11 por 2 y su resultado lo restamos con 3

(-22+3).Por lo tanto, el residuo es 19 y los números obtenidos representan los COEFICIENTES DE UN POLINOMIO DE GRADO 1, ES DECIR

3x+11.Recordemos que la respuesta se obtiene del grado del polinomio inicial disminuido en uno.

EJERCICIOS

1. X2-5x+7 entre x+4.                          6. 5x4-4x3+4x2-10x+8 entre x-1.

2. m2-10m+25 entre m-5.                   7. 4m6-3m3+2m-2 entre m-1.

3. 3x2-2x+5 entre x+2.                        8. 22x2+x4-12+10x entre x-2.

4. 8m2-2m+6 entre m+3.                   9. 8n4+7n3-5n2+4n-8 entre n+1.

5. 3x4-x2+10x3+5-20x / x+4.          10. m5+m4-12m3-m2-4m-2 / m+4.

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